С.В.Клітний
м.Вінниця, Україна
УДК 374.262.21
ФОРМУВАННЯ РОЗУМОВИХ ДІЙ, ЩО ВХОДЯТЬ У ДІЯЛЬНІСТЬ УЧНІВ ІЗ ЗАСВОЄННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ
Постановка проблеми. Засвоєння математичних знань учнями неможливе без їхньої активної пізнавальної діяльності, а процес учіння розглядається психологами як аналітико-систематична діяльність школярів. Тому важливо виділити склад тих розумових дій, у процесі виконання яких відбувається засвоєння учнями математичних понять, навчання доведенням, формування навичок і вмінь з розв'язування задач. Досить часто, труднощі у засвоєнні математичних знань пояснюються тим, що учні не підготовлені до виконання певних розумових дій і прийомів розумової діяльності, які входять до складу основних видів пізнавальної діяльності. Тому розумові дії і прийоми розумової діяльності мають стати не лише засобом, а й предметом засвоєння учнями.
Аналіз попередніх досліджень. Дослідження процесу формування в учнів наукових понять уперше почали психологи під керівництвом Л.С. Виготського. Актуальним залишається положення Л.С. Виготського про основні параметри формування розумової діяльності школярів у процесі навчання, зокрема в процесі засвоєння понять. До таких параметрів належать міра і якість узагальнення понять, ступінь їх абстрагованості і ступінь включення їх у систему, тобто системність знань. [2, с 51] Великий внесок у розв'язання цієї проблеми зробили психологи Д.М. Богоявленський, В.В. Давидов, Є.М. Кабанова-Меллер, Г.С. Костюк, Н.А. Менчинська, Н.Ф. Тализіна та інші. Характеризуючи пізнавальну діяльність як об'єкт управління, Н.Ф. Тализіна зазначає, що «формування понять передбачає, по перше, засвоєння системи спеціальних операцій по встановленню необхідних і достатніх ознак понять у конкретних предметах; по друге, засвоєння загально логічної системи операції підведення об'єктів під дане поняття, одержання наслідків із належності об'єкта даному класу предметів тощо [2, с 52]. Відомий психолог В.В. Давидов, зазначив, що поняття це форми мислення, в яких відображаються загальні суттєві і характерні (специфічні) властивості та особливості певних предметів або явищ дійсності. «Формування в дітей узагальнень і понять вважається однією з головних цілей шкільного викладання. Шкільний курс математики посідає в цьому особливе місце у зв'язку з тим, що математичні поняття відрізняються від понять інших наук високим рівнем узагальнення й абстракції. Операційна частина і становить власне психологічний механізм поняття. Без нього поняття не може бути ні сформоване, ні застосоване до розв'язання різних задач. Через зазначену систему операцій і відбувається управління формуванням понять».[1, с  226]  
До структури пізнавальної діяльності із засвоєння математичних понять входять як загальні, так і специфічні розумові дії. До загальних (за термінологією О.І. Раєва  належать аналіз, синтез, порівняння, абстрагування і конкретизація, узагальнення і спеціалізація, встановлення та використання аналогій, класифікація і систематизація. [2, с 52] Вони забезпечують установлення необхідних і достатніх властивостей понять у конкретних об'єктах і формування узагальненого поняття та системи понять у структурі предмета. До специфічних (за термінологією Н.Ф. Тализіної), або конкретних (за термінологією О.І. Раєва) розумових дій належать дія підведення під поняття та обернена їй дія виведення наслідків — від факту належності об'єкта до певного поняття переходять до системи властивостей, які притаманні даному об'єкту. [2, с 52]  
Мета статті з'ясувати зміст загальних і специфічних розумових дій та прийомів розумової діяльності, розкрити методику їх формування та використання під час вивчення математичних понять.
Виклад основного матеріалу. В роботах психологів та педагогів виділяють три шляхи формування прийомів розумової діяльності: стихійний, непрямий та прямий. Для стихійного шляху характерно розвиток мислення і формування прийомів мислення здійснюється в процесі засвоєння предметних знань без постановки завдання по їх формуванню до уроку. Непрямий шлях відрізняється від стихійного тим, що вчитель на уроці, поряд з дидактичними цілями ставить за мету формування певних розумових дій і розумової діяльності або окремих їх структурних елементів в процесі засвоєння програмного матеріалу. Для досягнення поставленої мети вчитель заздалегідь відбирає найбільш сприятливі для цього теми за змістом теоретичного матеріалу та системою задач. Прямий шлях передбачає цілеспрямоване формування певних розумових дій і прийомів розумової діяльності в умовах спеціально організованої діяльності учнів. На уроці вчитель спочатку дає характеристику змісту дії або прийому, наводить правило-орієнтир, пояснює роль прийому в процесі навчання. Після чого формуються навички опанування даним прийомом в процесі засвоєння тематичного програмного матеріалу. [3, с. 65]
Психологічну основу процесу формування математичних понять складають загальні розумові дії: аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, конкретизація, узагальнення, встановлення аналогій, класифікація, систематизація, та специфічні розумові дії – дія підведення під поняття, тобто дія розпізнавання та дія виведення наслідків з того, що об’єкт належить даному поняттю, тобто дія обернена до попередньої яка означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Якісно засвоїти математичні поняття можливо лише в процесі їх використання в навчальній діяльності, тільки оперуючи ними, застосовуючи їх. Уміння застосувати поняття також характеризують ці специфічні розумові дії.
Введення математичних понять у школі найчастіше здійснюють конкретно-індуктивним методом або абстрактно-дедуктивним методом. З.І. Слєпкань [3, с 252 ] виділила основні етапи алгоритмів введення математичних понять конкретно-індуктивним методом та абстрактно-дедуктивним методом. Зокрема, введення поняття конкретно-індуктивним методом передбачає виконання таких дій: аналізуються конкретні приклади, дібрані вчителем, серед яких повинні бути як об’єкти, що належать даному поняттю, так і ті що не належать йому; вводиться термін; виявляються суттєві властивості поняття; з'ясовуються несуттєві властивості поняття, що формуються; формулюється означення поняття; розглядаються вправи на підведення під поняття. Введення поняття абстрактно-дедуктивним методом передбачає виконання таких дій: вводиться термін; формулюється означення поняття; розглядаються приклади об’єктів, що належать даному поняттю; аналізуючи означення, виявляються суттєві і несуттєві властивості поняття; розглядаються вправи на підведення під поняття та виведення наслідків.
Наочність полегшує учням сприйняття абстрактних математичних понять, сприяє утворенню ясних і точних образів. В той же час одноманітне використання наочності фіксує увагу учнів на випадкових несуттєвих ознаках, які вони підносять у ранг суттєвих. Щоб запобігти цьому необхідно варіювати наочний матеріал. Для цього, треба показати фігуру в трьох-чотирьох положеннях, два з яких є нестандартними. Учитель повинен направляти процес спостереження учня на виділення суттєвих ознак і відокремлення їх від несуттєвих. Наведемо приклади введення понять «рівнобедрений трикутник» та «рівносторонній трикутник» конкретно-індуктивним методом або абстрактно-дедуктивним методом.
Використання конкретно-індуктивного методу.
При використанні цього методу, для початку ми покажемо учням два стовпчики з малюнками (рис. 1) та запитаємо їх:  що спільного у трикутників лівого стовпчика? що спільного у трикутників правого стовпчика ? Чим відрізняються трикутники лівого та правого стовпчика ? Трикутники у лівому стовпчику називаються рівнобедреними, а у правому рівносторонніми.


Учитель пропонує учням запитання: які властивості є суттєвими щоб трикутники були: а) рівнобедреними; б) рівносторонніми ? Які властивості є не суттєвими, чим трикутники можуть відрізнятися і в той же час бути: а) рівнобедреними; б) рівносторонніми.
Після їх відповідей учитель формулює означення рівнобедреного трикутника: трикутник, у якого дві сторони рівні, називається рівнобедреним.


На рисунку (рис.2)  зображено рівнобедрений трикутник АВС, у якого АВ=ВС. Рівні сторони трикутника називають бічними сторонами, а третю сторону – основою рівнобедреного трикутника.
Учням пропонується сформулювати означення рівностороннього трикутника самостійно.
На яких рисунках 3-10 зображено рівнобедрений трикутник?

На яких рисунках 11-21 зображено рівнобедрений трикутник; рівносторонній трикутник?


Використання абстрактно – дедуктивного методу
Сьогодні ми розглянемо два види трикутників, це рівнобедрені та рівносторонні. Означення 1. Трикутник, у якого дві сторони рівні, називається рівнобедреним.
На рисунку (рис.2) зображено рівнобедрений трикутник АВС, у якого АВ=ВС. Рівні сторони трикутника називають бічними сторонами, а третю сторону – основою рівнобедреного трикутника.
Означення 2. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім. Рівносторонній трикутник – це окремий вид рівнобедреного трикутника.
Наприклад :


Які умови є суттєвими для трикутників, щоб вони були: а) рівнобедреними; б) рівносторонніми?
Чим трикутники можуть відрізнятися і в той же час бути: а) рівнобедреними; б) рівносторонніми?
Наведіть приклади трикутників:
а) рівнобедрених; б) рівносторонніх.
У якому випадку трикутник АВС буде рівнобедреним? У якому випадку трикутник АВС буде рівностороннім?      


Висновки. Труднощі у засвоєнні математичних понять невстигаючими учнями психологи пояснюють, перш за все, невмінням виділяти суттєві спільні властивості об'єктів і абстрагуватися від несуттєвих. У зв'язку з цим учні роблять помилкові узагальнення за несуттєвими властивостями. Щоб попередити такі помилки, необхідно враховувати що в будь-який процес узагальнення входить абстрагування, оскільки не можна об'єднати, не вичленовуючи спільні суттєві властивості і не абстрагуючись від несуттєвих. Саме дія абстрагування виявляється складною для багатьох учнів у процесі формування понять.
Література:
1. Блонский П.П. Избрание педагогические й психологические сочинения в 2 част. – М. Педагогика, 1975 – Т 1 – 384 с, Т 2 – 399 с.
2. Слєпкань З.І. Психолого-педагогічні та методичні основи розвивального навчання математики /З.І. Слєпкань. –Тернопіль: Підручники і посібники, 2004. – 240 с.
3. Слєпкань З.І. Практикум з методики навчання математики. Загальна методика: Навчальний посібник для організації самостійної роботи студентів математичних спеціальностей педагогічних університетів /З.І.Слєпкань, А.В.Грохольська. В.Я.Забранський, С.М.Лук’янова, Л.Л.Панченко, І.С.Соколовська. За редакцією професора З.І.Слєпкань. - К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006. – 292с.
4. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний – М. Изд-во Московского университета, 1975 – 343с.