Н.В. Хомчак
м. Вінниця, Україна
УДК 374.262.21
СУЧАСНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ШЛЯХІВ УДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЦЕСУ ФОРМУВАННЯ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ УЧНІВ ПРО ФУНКЦІЇ
Вступ. Функціональна лінія є однією з провідних ліній шкільного курсу математики. Це пов’язано, насамперед, з фундаментальністю самого поняття «функція», яке відображає певні процеси. Вона пронизує весь курс алгебри основної школи та отримані знання з цієї теми мають широке практичне й прикладне застосування.
Аналіз попередніх досліджень.Проблема організації вивчення функцій у основній школі завжди перебувала в центрі уваги педагогічної науки і практики. Концепції змісту навчання функцій, зокрема поглибленого, розробляли математики і методисти О. Д. Александров, П. С. Александров, Н. Я. Віленкін, В. Г. Дорофєєв, Г. М. Карпенко, Т. В. Колесник, А. М. Колмогоров, В. Г. Кузнєцов, О. І. Маркушевич, Ф. Ф. Нагибін, Є. І. Нелін, Т. А. Пєсков, В. І. Севбо, З. І. Слєпкань, С. О. Теляковський, Ф. В. Томашевич, А. Я. Хінчин, Т. М. Хмара, С. І. Шварцбурд, Г. Є. Шилов, М. І. Шкіль, І. М. Яглом та ін. Широке коло питань, пов’язаних з організацією вивчення функцій, досліджено в працях М. М. Білоцького, М. І. Жалдака, Т. В. Крилової, В. І. Лагна, В. Г. Моторіної, Г. О. Михаліна, Л. І. Нічуговської, Л. Л. Панченко, М. В. Працьовитого, С. А. Ракова, С. П. Семенця, О. І. Скафи, Н. А. Тарасенкової та ін. Вивченню функцій присвячені дисертаційні роботи І. В. Антонової (організація роботи вчителя при формуванні поняття функції в основній школі), І. В. Калашнікова (розвиток творчої діяльності учнів у процесі вивчення функцій в основній школі), В.К. Кірмана (методична система вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю) , О. Л. Швай (формування функціональних уявлень на міжпредметній основі) , Н. М. Шунди (формування знань про елементарні функції у професійній підготовці вчителя математики) .
Постановка проблеми. На сьогоднішній день у навчально-методичній літературі описано багато різних методичних ідей щодо вивчення змістової лінії «Функція». Існує багато різних авторів-методистів, які детально описують алгоритм вивчення функцій в основній школі. Для вчителів початківців, майбутніх вчителів важливо, виділити основні методичні ідеї для їх професійної діяльності.
Мета статті охарактеризувати та проаналізувати методичні ідеї вивчення теми «Функція» у основній школі, які описані в навчально-методичній літературі та виділити основні методичні рекомендації удосконалення процесу формування знань та вмінь учнів про функції.
Виклад основного матеріалу. Сучасні тенденції розвитку науки та технологій вимагають від сучасних випускників уміти знаходити, досліджувати та використовувати функціональні залежності, мати початкові уявлення про концептуальні ідеї сучасної математики та її застосувань, вміти розв’язувати практичні задачі на обчислення та моделювання. Методику навчання функцій необхідно спрямувати на розвиток компетентностей учнів, пов’язаних із застосуванням функцій у різних видах діяльності.
У пояснювальній записці навчальної програми з математики зазначено, що властивості функцій встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій чільне місце відводиться формуванню умінь будувати й аналізувати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, які вони описують, спроможності розуміти функцію як певну математичну модель реального процесу. [12 , с.5-6]
З.І. Слєпкань у своєму посібнику [12] описала методичну схему вивчення фнкцій. Зокрема, виділила чотири етапи: етап мотивації; формулювання означення функції; побудова по точках за заздалегідь заготовленою таблицею графіка функції та «читання» за ним властивостей функції; застосування властивостей вивченої функції. На етапі мотивації розглядаються приклади залежностей, які приводять до певного виду функції. При формулюванні означення функції, що впроваджується, залежно від виду функції та підготовленості учнів, означення можна ввести конкретно-індуктивним методом (за якого учнів підводять до самостійного виокремлення істотних властивостей і формулювання означення) чи абстрактно-дедуктивним методом (за якого вчитель сам формулює означення і наводить приклади введеного виду функції). На цьому етапі учні розв'язують усні вправи на підведення до поняття функції, що вивчається. Серед пропонованих функцій мають бути такі, що не належать до розглядуваного виду. Побудова по точках за заздалегідь заготовленою таблицею графіка функції та «читання» за ним властивостей функції. На наступних етапах навчання, під час систематизації відомостей про функції та введення означення зростаючої, спадної, парної, непарної, періодичної функцій буде нагода довести властивості окремих видів функції аналітично. Застосування властивостей вивченої функції, зокрема, до розв'язування рівнянь, нерівностей та інших задач. Також авторка, сформулювала такі поради:
- під час формування загального поняття функції важливо використати приклади залежностей, що задаються різними способами (за допомогою формули, графіка, таблиці), відомі учням з попередніх класів, і ті знання та вміння, які вони здобули під час здійснення функціональної пропедевтики;
- оскільки функція вважається заданою, якщо вказано спосіб залежності між змінними і область визначення функції, то природно, розглядаючи приклади, запровадити поняття області визначення та області значень функції. Якщо загальне поняття функції вводиться через поняття змінних, якими можуть бути об'єкти будь-якої природи, а не лише величини, доцільно навести приклади і такого характеру, хоча надалі учні матимуть справу з числовими функціями;
- потрібно звернути увагу учнів на те, що термін «функція» іноді вживають для позначення двох понять: функціональної залежності та залежної змінної;
- слід приділити достатню увагу вправам на відшукання значень функції за даними значеннями аргументу й оберненій задачі - обчислення значень аргументу, яким відповідає задане значення функції для різних способів її задання;
- з погляду формування умінь складати математичні моделі залежностей за умов практичних задач, важливими є завдання на складання формул (функцій) залежностей: шляху від часу за сталої швидкості, маси різних предметів від об'єму, побудови графіків залежностей температури повітря, атмосферного тиску від часу, отриманих під час експериментальних спостережень. З метою впровадження елементів статистики можна практикувати складання таблиць статистичних даних.
О. Г. Мордокович [10] у методичних рекомендаціях до своїх підручників, зазначає, що:
- потрібно відмовитись від формулювання класичного означення «функція» на першому уроці, коли воно вперше з‘являється. При вивченні найпростіших видів функцій ( лінійна, обернена пропорційність, квадратична функції) не потрібно давати учням класичного означення функції для завчання, а потрібно лише описати поняття «функції». Означення функції у школі необхідно ввести лише тоді, коли учні будуть мати достатній багаж знань цього поняття;
- вивчення властивостей функцій відбувається поступово: область визначення, область значення функції, монотонність, парність, періодичність, неперервність, опуклість, обмеженість, екстремуми, найбільше і найменше значення. Учитель завжди має знати відповідь на три питання: яким із цих понять потрібно дати точне означення, а які достатньо розглянути на наочно-інтуїтивному рівні або робочому рівні; як і коли вводити те чи інше означення; якщо точне означення вводити пізніше первісного використання поняття, то яку потрібно провести пропедевтичну роботу для відповідного означення?
- теми «Лінійні рівняння з двома змінними» та «Функції» можуть вивчатись у різній послідовності. Якщо спочатку розглядається лінійна функція та її графік, то ці відомості використовуються для графічного ілюстрування розв’язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Якщо навпаки, то на думку методиста, в учнів відбувається природній перехід від моделі ах+ bу+с=0 до моделі у=kx+m.
В.К. Кірман [4] виділив наступні рекомендації для вчителів математики фізико-математичних класів:
- організацію засвоєння змісту навчального матеріалу теми доцільно здійснювати на таких етапах, як: пропедевтичний (первинної пропедевтики, початкової пропедевтики, активної пропедевтики), основного вивчення, узагальнення. На етапі первинної пропедевтики учні ознайомлюються з поняттями на інтуїтивному рівні. Далі на етапі початкової пропедевтики ілюструються деякі застосування, при цьому аргументація проводиться також на інтуїтивному рівні. На етапі активної пропедевтики значна кількість властивостей поняття розкривається за допомогою задач. Тоді на етапі основного вивчення, коли відповідне поняття стає явним об’єктом засвоєння, його властивості систематизуються, учні ознайомлюються із застосуваннями поняття, строгими способами доведення його властивостей. Нарешті, під час узагальнювального етапу встановлюється система логічних зв’язків між твердженнями, пов’язаними з відповідним поняттям, з’ясовується і поступово уточнюється місце того ж поняття в системі математичних знань;
- для розгортання функціональної лінії важливою є реалізація внутрішньопредметних та міжпредметних зв‘язків;
- одним із провідних компонентів змістової лінії є матеріал, що стосується основних елементарних функцій. Схема вивчення елементарних функцій у класах фізико-математичного профілю дозволяє виділити такі кроки: зовнішня мотивація; внутрішньопредметна мотивація; строге визначення відповідного виду функції; розпізнавання функцій даного виду; нестрогий графічний аналіз; строге дослідження властивостей функцій; строгий графічний аналіз; розв’язування задач на перетворення графіків, побудову графіків з кусковими характеристиками; дослідження та графічний аналіз функцій, пов’язаних із заданим класом; застосування властивостей функцій в теоретичних задачах; пропедевтика питань аналізу, пов’язаних із заданим класом функцій; виконання обчислювально-графічних робіт, пов’язаних із даним класом функцій; розв’язування прикладних задач, пов’язаних із даним класом функцій; аналіз різних підходів до визначення даного класу функцій; узагальнення методів дослідження та побудови графіків даного класу функцій для інших класів; усвідомлення логічних зв’язків між основними властивостями даного класу функцій (логіко-структурна рефлексія);
- для формування навичок математичного моделювання при вивченні функцій доцільно поступово переходити від задач з готовими концептуальними моделями до задач, де принциповим є пошук спрощень, наближених моделей. Для реалізації останнього варто використовувати два типи задач: 1) задачі з урахуванням малості фізичних величин; 2) задачі “якісного” аналізу функцій, що описують фізичні процеси з урахуванням малості величин. Розглядати відповідні задачі слід на інтегрованих уроках “фізика-математика”.
Т.В. Наконечна [14] зазначає, що у 7-9 класах формується уявлення про функцію як математичну модель залежності між величинами, відповідності між об’єктами будь-якої природи. Учні ознайомлюються з основними способами задання функцій, вивчають основні властивості і графіки елементарних функцій. У старших класах завершується вивчення і систематизація навчального матеріалу про функції. Структуру змісту теми “Функції” зручно подати такою схемою:

С.В. Нежельська [17] вважає, що потрібно організувати вивчення функцій, у системі, тобто розглядати її з різних сторін. Проте, системність не повинна мати характер набору випадкових властивостей, що підходять для різних видів функцій – це приведе до дискомфорту під час навчання. Виникає методична проблема для вчителя, як виділити в системі вправ для засвоєння властивостей конкретної функції, шість напрямів: графічне розв’язання рівняння; відшукання найбільшого та найменшого значення функції на заданому проміжку; перетворення графіка; функціональна символіка; «читання» графіка; реалізація міжпредметних зв‘язків.
Л.В. Жадановська [3] використовує на уроках, розроблений нею, розвивальний міні-підручник «Функції». На думку автора, вчитель має знати чи готові учні до уроку і до праці, тому за допомогою заготовлених дидактичних матеріалів учні показують свою готовність до уроку. Теоретичний блок побудований у вигляді схем, де стисло та лаконічно подається матеріал, який необхідно засвоїти учням під час вивчення теми. Кожен урок починається із пам’ятки, що є мотивацією для вивчення теми.
Висновки. Таким чином, аналіз науково-методичних досліджень шляхів удосконалення процесу формування знань та умінь учнів при вивченні функцій в основній школі дозволяє стверджувати, що маємо низку сучасних науково обгрунтованих положень, які мають бути враховані вчителями у процесі формування математичної компетентності учнів основної школи.
Анотації. У статті виділено шляхи удосконалення процесу формування знань та умінь учнів при вивченні функцій в основній школі, що описані в навчально-методичній літературі.
Аннотации. В статье выделено пути совершенствования процесса формирования знаний и умений учащихся при изучении функций в основной школе, описанных в учебно- методической литературе.
Annotation. The paper highlighted the ways to improve the process of building knowledge and skills of students in the study of functions at secondary school described in the educational literature.
Ключові слова: формування знань та умінь учнів при вивченні функцій
Ключевые слова: Формирование знаний и умений учащихся при изучении функций
Keywords: building knowledge and skills of students in the study of functions


ЛІТЕРАТУРА
1. Афанасьєва О., Бродський Я., Павлов О., Сліпенко А. Про функціональну змістову лінію шкільного курсу математики// Математика в школі. – 2007, №5, 6
2. Гуськов В.А. О качестве усвоения и применения определения функции. // Математика в школе.- 1982. -№4.
3. Жадановська Л. В. Функції. Розвивальний міні-підручник. 8 клас / Л. В. Жадановська. // Математика в школах України. – 2007. – №5.
4. Кірман В. К. Вивчення функцій у класах фізико-математичного профілю: посібник для вчителів / В. К. Кірман. – Дніпропетровськ: Свідлер, 2009. – 180 с.
5. Колесник Т. Розвиток поняття функції у класах з поглибленим вивченням математики основної школи // Математика в школі. – 2006, № 2, 3.
6. Кухлева Л.Г. Малюємо графіками функцій // Математика в школах України. – 2004. - №3. – С.21-22.
7. Лебединцев К.Ф. Основные положения методики учения о функциях и элементах анализа в школах ІІ ступени. // Математика в школе.- 1983. -№4.
8. Лисохмар Т., Олійник Г. Таблиці-завдання до теми „Квадратична функція” (9 клас) // Математика в школі. – 2002. - №1. – С.29-30.
9. Мойсеєв С. Про поняття функції в курсі алгебри. // Математика в школі. – 2003. - №5. – С.19-21.
10. Мордокович А.Г. Алгебра. 7 класс : методическое пособие для учителя/ А.Г. Мордокович. – М.: Мнемозина, 2008. – 64 с.: ил.
11. Наконечна Т. Підготовчий урок з теми “Функція”. // Математика в школі. – 2002. -№ 4.С.-29-32.
12. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник. ¬¬¬– 2-ге вид., допов. і переробл. ¬¬– К.: Вища шк., 2006. – 582 с.: іл.
13. Овчинникова Т. Функції як математичні моделі реальних економічних явищ і процесів// Математика в школі. – 2008, №7-8.
14. Теляковський С.А. О понятии функции в школьном курсе математики. // Математика в школе.- 1989. -№4.
15. Харитонова Л. Урок систематизації та узагальнення знань, умінь та навичок учнів з теми: „Квадратична функція” // Математика в школі. – 2003. - №5. – С.34-35.
16. Навчальна програма з математики 5-9 клас [Електронний ресурс]. – 2014. – Режим доступу до ресурсу: http://old.mon.gov.ua/ua/activity/education/ 56/692/educational_programs/1349869429/
17. Нежельська С. В. Актуальные проблемы преподавания математики [Електронний ресурс] / Светлана Викторовна Нежельська. – 2013. –
Режим доступу до ресурсу: http://nsportal.ru/shkola/algebra/ library/2013/01/18/ aktualnye-problemy-prepodavaniya-matematiki.