К.Ю. Боцюра
м. Вінниця, Україна
УДК 374.262.21
ФОРМУВАННЯ ВМІНЬ УЧНІВ РОЗВ‘ЯЗУВАТИ НЕРІВНОСТІ
Постановка проблеми. Вміння розв’язувати задачі є одним з основних показників рівня математичного розвитку, глибини засвоєння навчального матеріалу. У шкільному курсі математики навчанню розв’язування задач приділяється значна кількість часу, але основним методом такого навчання є демонстрація способів розв’язування певних видів (класів) задач, і зовсім не даються так необхідні знання аналізу суті задачі та її розв’язку. В учнів не виробляються уміння і навики в діях, що входять у загальну діяльність по розв’язуванню задач, не стимулюється постійний аналіз учнями своєї діяльності у цьому напрямку, по виділенню в ній загальних методів та підходів, що дало б можливість, у подальшому, будувати власну стратегію дослідження та розв’язання задач певного класу.
Нерівності лежать в основі таких центральних питань курсу математики середньої школи, як вимірювання величин, наближені обчислення, розвиток поняття про число, функціональні залежності, дослідження розв’язків математичних задач тощо.Як свідчить аналіз різних досліджень, публікацій та педагогічного досвіду вчителів, учні, які добре розв’язують досить складні рівняння, зазнають чималих труднощів при розв’язуванні навіть найпростіших нерівностей.Природно, виникає необхідність пошуку шляхів підвищення ефективності навчання учнів розв’язувати нерівності.
Аналіз попередніх досліджень.Проблемі навчання учнів розв'язувати нерівності присвячені роботи багатьох вчителів та методистів. Серед найбільш методично вдалих фахових публікацій виділимо статті: Н. Варущик та К. Малюгіна, О. Воронного та Л. Кукси, І. Давиденко, Н. Крамарьової, Є. Неліна, О. Перехейди, Т. Рекрутняк, В. Шавальової та ін.
У дослідженнях К. І.Нешкова сформульовані принципи відбору змісту та виділено необхідний обсяг матеріалу з теми «Нерівності» в основній школі. При цьому значна роль відводиться вправам [3].  Дослідження М. В. Паюл [1], І. М. Степуро [2] присвячені питанням взаємозв'язку понять нерівності, рівняння і функції. М. П. Комова, Г. Н. Солтан вивчали доведення і розв‘язування нерівностей на геометричному матеріалі. Н. М. Повзло у своїй праці описав внутрішньо-предметні зв'язки при вивченні рівнянь і нерівностей в курсі математики основної школи. Н. Б. Мельникова, Д.Д. Рибдалова велике значення у своїй праці надавали прикладним аспектам вивчення нерівностей в середній школі.
Мета статтівиділити основні напрями підвищення ефективності навчання учнів розв’язувати нерівності.
Виклад основного матеріалу. Нерівності традиційно широко представлені у завданнях державної підсумкової атестації з математики та у завданнях зовнішнього незалежного оцінювання з математики.Згідно програми зовнішнього незалежного оцінювання з математики, його учасники повинні розв’язувати нерівності та їх системи, текстові задачі складанням нерівностей та їх систем. На виявлення рівня засвоєння змістової лінії «Рівняння, нерівності та їх системи» відведено 20–25% завдань.
Вважаємо, що процес формування вмінь учнів розв‘язувати нерівності має розпочатись із вивчення вчителем типових помилок учнів при розв‘язуванні нерівностей. Це дозволить учителеві вчити не на помилках, а запобігати їм, тобто про типові помилки слід казати не тоді, коли вони вже виникли, а передбачити можливість їх появи і звертати на них увагу. Таким чином, попередження та виправлення учнівських помилок є невід’ємною частиною навчальної діяльності.  Прийоми виправлення помилок повинні бути спрямовані на забезпечення усвідомлення учнями помилок у своїх відповідях та необхідності корекції. До того ж кожний з цих прийомів має включати такі дії:постановка мети виправлення помилки;забезпечення позитивного ставлення до корекції;розкриття сутності помилки та способів її видалення;заміна помилкового фрагмента відповіді на правильний;виявлення результатів корекції.
Виділимо помилки, які допускають учні при розв’язуванні нерівностей та їх систем. Алгоритм розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною схожий з алгоритмом розв’язування лінійних рівнянь. Внаслідок цього в учнів нерідко виникає помилкове уявлення про повну аналогію цих алгоритмів, через це закріплюється хибна звичка не змінювати знак нерівності на протилежний при множенні (діленні) обох частин нерівності на від’ємне число.Дійсно, на практиці часто спостерігаються такі помилки. Наприклад,  





Наступним етапом методичної діяльності вчителів у процесі навчання учнів розв‘язуванню нерівностей, вважаємо, систематизація теоретичних знань учнів. Це може бути узагальнююча лекція, або роздруківки з необхідною теорією. Наприклад, для засвоєння теми «Рівносильні нерівності», можна розглянути такий теоретичний блок.
У процесі розв'язування нерівностей, як і при розв'язуванні рівнянь, виконують певні перетворення, в результаті яких дану нерівність зводять до простішої або до системи простіших нерівностей [4, c. 85]. Але, якщо при розв'язуванні рівнянь поява сторонніх коренів не особливо хвилює (їх просто можна відкинути, зробивши перевірку), то поява сторонніх розв'язків при розв'язуванні нерівностей не бажана. Це пов'язано з тим, що нерівності, як правило, мають нескінченну множину розв'язків і звичайною перевіркою відкинути сторонні розв'язки досить важко. Тому при розв'язуванні нерівностей використовують перетворення, при яких нерівність замінюють рівносильною їй нерівністю. Такі перетворення називаютьрівносильними. При рівносильних перетвореннях розв'язків не втрачають і не отримують сторонніх.
Наступні теореми дають відповідь на запитання про те, які перетворення нерівностей є рівносильними. За виключенням теореми 1, в них розглядаються лише нерівності виду f(х) >g(х). Проте твердження цих теорем легко поширити і на нерівності видуf(х)<g(х), f(х)≤g(х), f(х) ≥g(х).

Теорема 1. Якщо в нерівності деякий вираз φ(х) замінити тотожним йому на ОДЗ нерівності виразом ψ(х), то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Теорема 2. Якщо вираз h(х) визначений для всіх х з ОДЗ нерівності
f(х) >g(х), то f(х) >g(х) ↔f(х) ±h(х) >g(х) ±h(х)
Наслідок. Якщо з однієї частини нерівності в іншу перенести дода¬нок, змінивши його знак на протилежний, і при цьому залишити без зміни знак нерівності, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Теорема 3. Якщо обидві частини нерівностіf(х) >g(х) помножити (або поділити) на вираз h(х), який визначений для всіх х з ОДЗ даної нерівності і приймає тільки додатні значення, залишивши при цьому без зміни знак нерівності, то отримаємо нерівність, рівносильну даній: f(х) >g(х), то
f(х) >g(х) ↔f(х) h(х) >g(х)h(х), h(х)>0.
Теорема 4. Якщо обидві частини нерівностіf(х) >g(х)  помножити (або поділити) на вираз h(х), який визначений для всіх х з ОДЗ даної нерівності і приймає тільки від'ємні значення, замінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній:f(х) >g(х) ↔f(х) h(х) <g(х)h(х), h(х)<0[6, c. 9].
Теореми 2-4 є узагальненнями відомих властивостей числових нерівностей на випадок нерівностей зі змінною. Твердження цих теорем буде правильним і в тих випадках, коли замість виразу h(х) в теоремі 2 взяти довільне число, в теоремі 3 — довільне додатне число, а в теоремі 4 — довільне від'ємне число.
Длязакріплення цього навчального матеріалу  можна розв’язати такі вправи[6, c.19]:
1. Чи рівносильні нерівності:


Останнім етапом навчання учнів розв’язувати нерівності має бути створення методично грамотної системи вправ. Вважаємо, що серед таких завдань обов’язково має бути завдання на розв’язування нерівностей з параметрами, або їх систем. Працюючи із нерівностями з параметрами учні часто відчувають проблеми з пошуком розв’язання. З метою усунення труднощів, вчителям варто сформувати уявлення учнів про різні способи розв’язування однієї нерівності.
Висновки. Навчання учнів розв’язувати нерівності сприяє узагальненню і систематизації учнів не лише з окремої теми «Нерівності», а й із значної частини курсу шкільної алгебри. Виконуючи таку роботу учні звертаються до вже засвоєних ними знань, зокрема, здійснюють алгебраїчні перетворення, розв’язують рівняння, пригадують властивості функцій та їх графіки. Таким чином, у учнів формуються міцні та системні знання. Вони бачать, що всі навчальні теми тісно пов’язані між собою і недостатність знань однієї з них може стати перешкодою для успішного засвоєння іншої. Розуміння учнями тісних внутрішньо-предметних зв’язків може значно підвищити мотивацію до навчання, і, як наслідок, підвищити ефективність засвоєння відповідного навчального матеріалу.
Література.
1. Паюл М. В. Методика изученияуравнений и неравенств в 6-8 классах : дис. канд. пед. наук / Паюл М. В. – Киев, 1985. – 198 с.
2. Степуро И. М. Взаимнаясвязь в процессеизучения понятий алгебраическойфункции, алгебраическогоуравнения и алгебраического функціонального неравенства действительного переменного : автореф. дис. на обретение наук. степеня канд. пед. наук / Степуро И. М. – Гродно, 1970.
3. Нешков К.И. Неравенства в курсе математики средней школы: втореф. дис. на обретение наук. степеня канд. пед. наук / Нешков К. И.  – М., 1956.
4. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. Формирование примов учебной деятельности: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 128 с.
5. Слєпкань 3.І.Методика навчання математики: Підручник. – 2-ге вид.,
допов. і переробл. / З. І. Слєпкань. – К.: Вища шк., 2006. – 582 с
6. Кушнір В. А. Рівносильність рівнянь та нерівностей: Методичний
посібник для виконання контрольних робіт учнями 10-11 класів / В. А. Кушнір, Г. А. Кушнір, Р. Я. Ріжняк.  – Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В.Винниченка, 2009. – 51 с. – (Навчальні матеріали для учнів заочної фізико-математичної школи).

Анотації. У статті виділено основні напрями підвищення ефективності навчання учнів розв’язувати нерівності.
Ключові слова: формування знань та умінь учнів при вивченні нерівностей.
Аннотации. В статье выделены основные направления повышения эффективности обучения учащихся при изучении неравенств.
Ключевые слова: формирование знаний и умений учащихся при изучении неравенств.
Annotations. The article highlights the main directions of improving the efficiency of teaching students to solve inequality
Keywords: building knowledge and skills of students in the study of inequalities.